МАТЕМАТИКА БЕЗ БЕСКОНЕЧНОСТИ.

ПРОИЗВОДНАЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ИНТЕГРАЛ, ПРЕДЕЛ БЕЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.

ФИЗИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ.

Николай Брылёв

Со школьной скамьи нам доносят истину о математическом, геометрическом и физическом смысле ключевых понятий дифференциального исчисления: производной, дифференциала, интеграла, предела. Очень полезные понятия, междисциплинарные, прорывные. Проверено временем. Но физическая ясность этих понятий не достаточно строга, по этой причине не очевидна (мгновенная скорость, тангенс угла наклона касательной и т.п.). Ибо в них со времён Лейбница и Коши употребляется бесконечность, устремления к нулю, бесконечно малые. Вводится в обиход понятие предела. А нельзя ли без них? Оказывается можно! И даже нужно! И при этом многое проясняется и упрощается, наполняется ясным смыслом и содержанием. Изучение становится простым и понятным. Некоторые условности просто исчезают. Для этого следует посмотреть на основы дифференциального исчисления через призму взаимодействий - причину изменчивости, общего эволюционного механизма.

            Рассмотрим умозрительную модель взаимодействий - модель броуновского движения частиц. Пусть в определённом объёме в единицу времени (секунду) происходит N взаимодействий частиц. Пусть взаимодействия, как и частицы, равномерно распределены по объёму. Тогда, в одной тысячной части этого объёма происходит уже в тысячу раз меньше взаимодействий. В миллионной части объёма - в миллион раз меньше. И чем меньше рассматриваемый объём, тем меньшее количество взаимодействий в единицу времени в нём происходит. Тоже самое можно сказать и про интервал времени. Чем меньше интервал рассматриваемого времени наблюдения за взаимодействиями, тем меньшее количество взаимодействий происходит за этот интервал. Прослеживается прямая зависимость между количеством взаимодействий и величинами объёма (пространства) и интервалами времени наблюдения. Таким образом, имеется теоретическая возможность подобрать такие масштабы времени и пространства, что бы наблюдаемая картина взаимодействий системы представляла собой последовательность событий-взаимодействий, где в определённый интервал времени (обозначим его dt или ∆t), в определённом объёме пространства (одномерном для простоты  - dx или ∆x) происходило только одно событие, а в каждом событии взаимодействовало (участвовало) только две частицы (два объекта). И такой подход к масштабированию справедлив для любой системы взаимодействий, не обязательно броуновской. Тогда любой параметр У, в одном событии формально зависящий от другого переменного параметра (например: x , t или произвольного параметра - u) как функция у = f (x) от этих переменных,  изменится линейно на  так как является функцией одного переменного. Этот подход полностью соответствует Первому закону Ньютона, смысл которого прост: нет внешних взаимодействий объекта - нет действующих на него внешних сил, а если нет сил - ничего не изменяется в состоянии объекта.

Проиллюстрируем воображаемую модель не воображаемым рисунком.

рис.1 Слева - сегмент воображаемого броуновского движения. Справа - "ломаная"  траектория движения частицы (красными шариками помечены точки взаимодействий частицы с другими частицами). Между взаимодействиями частицы сохраняют своё состояние неизменным (прямой отрезок ломаной). Что является смыслом понятия инерции - как неизменным состоянием объекта между взаимодействиями.

            Классическая, общепринятая трактовка понятий производная и дифференциал отображена на рис.2. Мы не будем подробно на ней останавливаться только освежим воспоминания.

рис.2

            Исходя из общепринятых понятий (рис.2) не заметна смысловая разница между dx - бесконечно малым (б.м.) приращением аргумента и просто приращением аргумента ∆x , а так же б.м. приращением функции dy и просто приращением функции ∆y. Эту разницу нам определяют через предел отношения приращения функции к стремящемуся к нулю приращению аргумента  и называют это производной.  Смысловой разницы не очень видно. А смысловая разница вытекает из физики взаимодействий - причины появления приращений. И никакой разницы быть не может если рассматривать единичное взаимодействие по параметру , в результате которого функции у = f (x) на интервале между событиями  изменяется линейно, а приращения б.м. и просто приращения будут полностью равны в количественном и смысловом выражении.

И в понятии предела появляется смысл если принять, что ∆x устремляется не к нулю , а к такому значению, при котором функция у = f (x) на интервале  имеет линейный участок.

            А вот теперь мы рассмотрим рис. 3, на котором изображено изменение произвольной функции у=f(x) , в зависимости от восьми (N=8) событий-взаимодействий. Мы подобрали такие условия, масштабы, что от события к событию функция у=f(x) изменяется линейно  (Первый закон Ньютона выполняется). То есть, иные причины изменения, между ближайшими взаимодействиями  отсутствуют. Отсюда форма кривой преобразуется в форму ломаной с прямолинейными участками между событиями. Тогда, количественная оценка этого изменения в точках 1-8 соответствует отношению приращения функции к приращению аргумента

 ,  i=1,2.3...8

Что называется производными функции у =f (x) в точках 1-8. При этом приращения ∆У_{i ,}  ∆X_i,  есть дифференциалы функции и дифференциалы аргумента соответственно. И никаких больше dx  и dy не нужно. Тогда определение производной следующее. Производная функции у =f (x) в заданной точке есть отношение приращения функции к приращению аргумента в заданной точке, на линейном участке функции. Эти же приращения по смыслу и содержанию есть дифференциалы функции и аргумента соответственно.

А что же теперь с интегралами? Всё становится намного проще и понятнее.

НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Освежим воспоминания при помощи Википедии.

Поскольку в нашем примере, в каждой точке (i=1-8) функция   будет иметь различающиеся производные, тогда неопределённый интеграл является семейством первообразных от каждого взаимодействия, в каждой точке  - , т.е. если у нас, в данном примере, есть восемь производных в восьми точках  ,  i=1,2.3...8, то должно быть и восемь первообразных для каждой точки. Постоянная  C - (произвольная постоянная) приобретает смысл разницы первообразных

C =

 В нашем примере это разница между первообразными в 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4 и т.д. точках.

ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ

Определённый интеграл есть сумма площадей под ломаной кривой на интервале событий {1....8} (рис. 4). 

S =  =

где - есть среднее арифметическое значение между производными в точках  и  , при этом погрешность вычисления определённого интеграла равна нулю.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

            Если бы приблизительно так (в этом направлении) преподавали основы дифференциального исчисления в школах и на первых курсах ВУЗов, насколько бы проще и понятнее закладывались в голову смыслы математических методов описания природы. А главное, без отрыва от физических смыслов. Изложение основ дифференциального исчисления не содержит ни одной теоремы. Имеет объём - 3 страницы. В половину лекции. В один семинар. А дальше - широчайшее развитие темы в направлении функций нескольких переменных, уравнений в частных производных, тройных интегралов и прочее. А главное, в подходе через физику взаимодействий прослеживается глубокая методология познания. В своё время Гельмгольц писал : «задача физических наук состоит в том, чтобы все физические явления свести к силам притяжения и отталкивания, величина которых зависит от расстояния между взаимодействующими точками». А ведь силы отталкивания и притяжение, как и все другие силы, есть результат взаимодействий различной природы (размерности). Об этом догадывались уже в XIX веке. Таким образом, задача физических наук (естествознания) состоит в том, что бы все явления природы свести к взаимодействиям. Помните, Д.И. Менделеев советовал всё естествознание преподавать на одной кафедре? Ведь прав был бородатый! Тысячу раз прав! Гений! А что же нам мешает, непутёвым, вернуться к смыслам?

С уважением к читателю, Николай Брылёв.

Проект "Философия Относительности" nbrilev.ru