|
|||||
|
|||||
МАТЕМАТИКА БЕЗ БЕСКОНЕЧНОСТИ.
ПРОИЗВОДНАЯ, ДИФФЕРЕНЦИАЛ, ИНТЕГРАЛ, ПРЕДЕЛ БЕЗ БЕСКОНЕЧНО МАЛЫХ.
ФИЗИКА ВЗАИМОДЕЙСТВИЙ.
Николай Брылёв
Со школьной скамьи нам доносят истину о математическом, геометрическом и физическом смысле ключевых понятий дифференциального исчисления: производной, дифференциала, интеграла, предела. Очень полезные понятия, междисциплинарные, прорывные. Проверено временем. Но физическая ясность этих понятий не достаточно строга, по этой причине не очевидна (мгновенная скорость, тангенс угла наклона касательной и т.п.). Ибо в них со времён Лейбница и Коши употребляется бесконечность, устремления к нулю, бесконечно малые. Вводится в обиход понятие предела. А нельзя ли без них? Оказывается можно! И даже нужно! И при этом многое проясняется и упрощается, наполняется ясным смыслом и содержанием. Изучение становится простым и понятным. Некоторые условности просто исчезают. Для этого следует посмотреть на основы дифференциального исчисления через призму взаимодействий - причину изменчивости, общего эволюционного механизма. Рассмотрим
умозрительную модель взаимодействий - модель броуновского движения частиц.
Пусть в определённом объёме в единицу времени (секунду) происходит N
взаимодействий частиц. Пусть взаимодействия, как и частицы, равномерно
распределены по объёму. Тогда, в одной тысячной части этого объёма происходит
уже в тысячу раз меньше взаимодействий. В миллионной части объёма - в миллион
раз меньше. И чем меньше рассматриваемый объём, тем меньшее количество
взаимодействий в единицу времени в нём происходит. Тоже самое можно сказать и
про интервал времени. Чем меньше интервал рассматриваемого времени наблюдения
за взаимодействиями, тем меньшее количество взаимодействий происходит за этот
интервал. Прослеживается прямая зависимость между количеством взаимодействий и
величинами объёма (пространства) и интервалами времени наблюдения. Таким образом, имеется теоретическая
возможность подобрать такие масштабы времени и пространства, что бы наблюдаемая
картина взаимодействий системы представляла собой последовательность
событий-взаимодействий, где в определённый интервал времени (обозначим его dt или ∆t), в
определённом объёме пространства (одномерном для простоты - dx или ∆x) происходило
только одно событие, а в каждом событии взаимодействовало
(участвовало) только две частицы (два объекта). И такой подход к масштабированию справедлив для любой
системы взаимодействий, не обязательно броуновской. Тогда любой параметр У, в одном событии формально зависящий от другого переменного
параметра (например: x , t
или произвольного параметра - u) как функция у = f (x) от этих переменных, изменится линейно на
Проиллюстрируем воображаемую модель не воображаемым рисунком.
рис.1 Слева - сегмент
воображаемого броуновского движения. Справа - "ломаная" траектория движения частицы (красными шариками
помечены точки взаимодействий частицы с другими частицами). Между
взаимодействиями частицы сохраняют своё состояние неизменным (прямой отрезок
ломаной). Что является смыслом понятия инерции - как неизменным состоянием объекта между взаимодействиями.
Классическая, общепринятая трактовка понятий производная и дифференциал отображена на рис.2. Мы не будем подробно на ней останавливаться только освежим воспоминания.
рис.2 Исходя из общепринятых
понятий (рис.2) не заметна смысловая разница между dx - бесконечно малым (б.м.)
приращением аргумента и просто приращением аргумента ∆x , а так же б.м.
приращением функции dy и просто приращением функции ∆y. Эту разницу нам
определяют через предел отношения
приращения функции к стремящемуся к нулю приращению аргумента и называют это производной. Смысловой
разницы не очень видно. А смысловая разница вытекает из физики взаимодействий -
причины появления приращений. И никакой разницы быть не может если рассматривать
единичное взаимодействие по параметру , в результате которого функции у = f (x) на интервале между
событиями
И в понятии предела появляется смысл если принять, что ∆x
устремляется не к нулю , а к такому значению, при котором функция у = f (x) на интервале
А вот теперь мы рассмотрим рис. 3, на котором изображено изменение произвольной функции у=f(x) , в зависимости от восьми (N=8) событий-взаимодействий. Мы подобрали такие условия, масштабы, что от события к событию функция у=f(x) изменяется линейно (Первый закон Ньютона выполняется). То есть, иные причины изменения, между ближайшими взаимодействиями отсутствуют. Отсюда форма кривой преобразуется в форму ломаной с прямолинейными участками между событиями. Тогда, количественная оценка этого изменения в точках 1-8 соответствует отношению приращения функции к приращению аргумента
Что называется производными функции у =f (x) в точках 1-8. При этом приращения ∆Уi , ∆Xi, есть дифференциалы функции и дифференциалы аргумента соответственно. И никаких больше dx и dy не нужно. Тогда определение производной следующее. Производная функции у =f (x) в заданной точке есть отношение приращения функции к приращению аргумента в заданной точке, на линейном участке функции. Эти же приращения по смыслу и содержанию есть дифференциалы функции и аргумента соответственно.
А что же теперь с интегралами? Всё становится намного проще и понятнее.
НЕОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Освежим воспоминания при помощи Википедии.
Поскольку в нашем примере, в каждой точке (i=1-8) функция
C =
В нашем примере это разница между первообразными в 1 и 2, 2 и 3, 3 и 4 и т.д. точках.
ОПРЕДЕЛЁННЫЙ ИНТЕГРАЛ
Определённый интеграл есть сумма площадей под ломаной кривой на интервале событий {1....8} (рис. 4). S =
где
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
Если бы приблизительно так (в этом направлении) преподавали основы дифференциального исчисления в школах и на первых курсах ВУЗов, насколько бы проще и понятнее закладывались в голову смыслы математических методов описания природы. А главное, без отрыва от физических смыслов. Изложение основ дифференциального исчисления не содержит ни одной теоремы. Имеет объём - 3 страницы. В половину лекции. В один семинар. А дальше - широчайшее развитие темы в направлении функций нескольких переменных, уравнений в частных производных, тройных интегралов и прочее. А главное, в подходе через физику взаимодействий прослеживается глубокая методология познания. В своё время Гельмгольц писал : «задача физических наук состоит в том, чтобы все физические явления свести к силам притяжения и отталкивания, величина которых зависит от расстояния между взаимодействующими точками». А ведь силы отталкивания и притяжение, как и все другие силы, есть результат взаимодействий различной природы (размерности). Об этом догадывались уже в XIX веке. Таким образом, задача физических наук (естествознания) состоит в том, что бы все явления природы свести к взаимодействиям. Помните, Д.И. Менделеев советовал всё естествознание преподавать на одной кафедре? Ведь прав был бородатый! Тысячу раз прав! Гений! А что же нам мешает, непутёвым, вернуться к смыслам?
С уважением к читателю, Николай Брылёв. Проект "Философия Относительности" nbrilev.ru
|
|||||
|
|||||
|
|||||
|